OK also das Thema ist nicht in 2 Sätzen erklärt aber da ich seit 8 Jahren selbständig bin beantworte ich Dir mal die Fragen und erkläre wieso weshalb warum mansches so ist wie es ist.
1. GmbH
Die GmbH ist eine Gesellschaftsform bei der das Unternehmen selbst eine juristische Person ist. Bedeutet Du als Gründer bist zwar inhaber der GmbH aber so gesehen dennoch bei dieser angestellt und beziehst somit ein Gesellschaftergehalt.
Vorteil: Die Haftung beschränkt sich auf die Höhe der Einlage (25000 € bei Gründung)
Nachteil: 12500 € Barmittel müssen bei Gründung auf einem Konto liegen + 12500 € innerhalb von 6 Monaten angehäuft werden + geschätzte 2000-3000 € Gründungskosten da die GmbH von einem Notar ins Handelsregister eingetragen werden muss und der Name bei der zuständigen IHK oder HWK eingetragen wird.
2. Alternative zur GmbH
In deinem Fall wäre die Alternative entweder eine ganz normale Einzelunternehmerschaft oder ein so genanntes Kleingewerbe. Im folgenden kurz die haupten Unterschiede.
Einzelunternehmerschaft: Umsätze dürfen bis 250000€ pro Jahr betragen. Ab dann muss das ganze ins Handelsregister eingetragen werden.
Kleingewerbe: Maximal 25000 € Jahresumsatz. Darf keine Umsatzsteuer ausweisen (auf deiner Rechnung dürfen keine 19% Mwst. aufgeführt sein). Die Umsätze werden am Ende des Jahres als Umsätze aus selbständiger Tätigkeit auf deiner Steuererklärung aufgeführt und fertig.
Vorteil bei der Kleingewerberegelung ist eindeutig das Du keine monatlichen Umsatzsteuervoranmeldungen brauchst, keine großartige Buchhaltung und das ganze mit ein wenig Starthilfe recht gut alleine hin bekommst. Bei der Einzelunternehmerschaft kannst Du allerdings auch z.B. mal nen Auftrag über 50000 € annehmen. Und bis auf die Buchhaltung hast Du da keinen Nachteil.
Was natürlich sein kann ist, dass der Kunde mit dem Du arbeiten willst darauf besteht das auf deinen Rechnungen die Mehrwertsteuer ausgewiesen ist. Dann kannst Du die Kleingewerberegelung gleich vergessen.
Wie das in deinem Fall mit der Krankenversicherung aussieht bin ich mir gar nicht so sicher. Da das ganze ein Nebengewerbe sein soll und Du mit Sicherheit nicht mehr wie 15 Stunden pro Woche dafür arbeiten wirst (!!!) sollte deine bisherige Versicherung weiter dafür aufkommen. Meistens die Familienversicherung der Eltern.
An deiner Stelle würde ich mir alle Optionen offen halten und erst mal darauf hin arbeiten. Wenn Du nen guten Job findest wo Du neben dem Studium gutes Geld verdienen kannst würde ich das machen und ansonsten erst dann ein Gewebe anmelden wenn Du den ersten Auftrag hast. Das heißt der Kunde gibt Dir den Auftrag und im Härtefall brauchst Du das Gewerbe erst an dem Tag wo Du die Rechnung schreibst. Sonst meldest Du das Gewerbe an und bekommst 12 Monate keinen Auftrag aber hast trotzdem die Buchhaltung an der Backe.
Wenn Du das ganze mal wirklich detailiert erklärt haben möchtest kannst Du mich ja mal per PN kontaktieren dann machen wir mal nen Termin zum telefonieren aus. Das alles hier haar klein detailiert aufzuschreiben ist zu Umfangreich. Außerdem kann ich Dir dann gezielt Fragen beantworten. Und wer weiß - vielleicht gehöre ich auch mal zu deinen Auftraggebern